Aspects mathématiques
Jean Dieudonné ; De la communication entre mathématiciens et physiciens, dans : La pensée physique contemporaine - Science et humanisme en notre temps, Editions Augustin Fresnel, Fondation Louis de Broglie (1982).
L'analyse vectorielle est le formalisme utilisé dans la plupart des cours de physique élémentaire comme support à la "théorie des champs" vectoriels, dont le prototype est la théorie du champ électromagnétique de Maxwell. La critique ci-dessus faite par l'éminent mathématicien français se trouve être tout à fait justifiée, tant sur le plan mathématique que d'un point de vue physique, comme le remarquait déjà Pauli [Pa] !
En effet, des objets comme le produit vectoriel et le rotationnel ("curl") d'un champ de vecteur sont spécifiques à l'espace euclidien à trois dimensions (*). Or, la nécessité expérimentale conduit le physicien à devoir travailler dans l'espace-temps de Minkowski (espace à quatre dimensions de la relativité restreinte), ce qui condamne de facto le "symbolisme barbare" dénoncé par Dieudonné, et oblige le physicien à utiliser un nouveau formalisme, par exemple celui des "formes différentielles" chères à Cartan. Le passage aux "variétés différentielles" à quatre dimensions de la relativité générale, puis aux variétés différentielles de dimensions supérieures (utiles pour les théories d'unification à la Kaluza-Klein), ne fait que renforcer cette nécessité. Ce nouveau formalisme est indispensable pour aborder la physique théorique moderne ...
(*) On remarque que, dans Rn, un vecteur possède a priori n composantes indépendantes, et qu'une matrice antisymétrique réelle possède a priori n(n-1)/2 composantes indépendantes non-nulles. L'égalité n(n-1)/2 = n n'est possible que pour n = 3, si l'on exclu le cas trivial n = 0. Le grand mathématicien français Roger Godement écrit sur un ton ironique [Go] :
"Le Créateur a du inventer ce miracle à la veille du Big-Bang pour mystifier ses créatures en leur faisant croire qu'elle comprendraient ainsi plus facilement ses Œuvres Complètes que s'il avait, par exemple, choisi un espace à quatre dimensions."
Ainsi, le "pseudo-vecteur" champ magnétique serait-il mieux représenté par un tenseur antisymétrique de rang 2 (ou une 2-forme).
[Pa] Wolfgang Pauli ; Electrodynamics, MIT Press (1973), réédité par Dover (2000), ISBN 0-486-41457-4. Lire pp. 11-14 les remarques mathématiques sur la formule de Stokes ...
[Go] Roger Godement ; Analyse mathématique III : Fonctions analytiques, différentielles et variétés, surfaces de Riemann, Springer (2002), ISBN 3-540-66142-5. Lire pp. 192 à 214 ...
© 2012
- Thierry Lévy ; Electromagnétisme et formes différentielles, vers la relativité restreinte, Département de Mathématiques de l'ENS.
- Michèle Audin ; De la beauté : la formule de Stokes, Images des Mathématiques, CNRS (2009).
- Patrick Popescu-Pampu ; Qu'est-ce que le genre ?, dans : Histoires de Mathématiques, Actes des Journées X-UPS 2011, Ed. Ecole Polytechnique (2012),
ISBN 978-2-7302-1595-4, pp. 55-198.
Le paragraphe 41 (pp. 154 et suivantes) contient des aspects historiques sur le développement de la formule de Stokes. - Michèle Audin ; Henri Cartan & André Weil - Du XXe siècle et de la topologie,
dans Henri Cartan & André Weil, mathématiciens du xxe siècle, Actes des Journées X-UPS 2012, Ed. École Polytechnique (2012), ISBN 978-2-7302-1610-4.
Le paragraphe 3.c (pp. 41 et suivantes) contient des aspects historiques sur le développement de la formule de Stokes.