Une partie importante du programme de physique de deuxième année est consacré à une initiation à la théorie des champs, qui utilise abondamment les équations aux
dérivées partielles (EDP). Leur théorie mathématique est plus complexe que celle des équations différentielles ordinaires vues en première année.
Conformément au programme officiel actuel, aucune technicité mathématique n'est recherchée dans le cours de physique de CPGE ; c'est
pourquoi certains résultats (théorèmes d'unicité, ...) seront présentés sans démonstrations dans ce cours. Le lecteur curieux qui, dans le
futur, souhaiterait approfondir ses connaissances sur ces aspects mathématiques, pourra se reporter aux ouvrages de référence suivants
qui, bien qu'anciens (*), restent toujours pertinents pour une première approche :
- Richard Courant et David Hilbert,
Methods of Mathematical Physics (2 vols.),
John Wiley & Sons (1953), ISBN 978-0-471-50447-4 (vol 1) et 978-0-471-50439-9 (vol 2) (première édition allemande : 1924)
- Philip Morse et Herman Feshbach,
Methods of Theoretical Physics (2 vols.),
Feshbach Publishing (2005), ISBN 0-9762021-2-3 (première édition US par McGraw-Hill : 1953)
- Arnold Sommerfeld,
Partial differential equations in physics - Lectures on Theoretical Physics (Vol 6),
Academic Press (1949) (première édition allemande : 1947)
- A. N. Tikhonov et A. A. Samarski,
Equations of Mathematical Physics,
Dover (1990), ISBN 978-0486664224 (première édition anglaise par Pergamon : 1963).
- A. M. Budak, A. N. Tikhonov et A. A. Samarski,
A Collection of Problems in Mathematical Physics,
Dover (1988), ISBN 978-0-486-65806-3 (première édition anglaise par Pergamon : 1964).
- Stanley J. Farlow,
Partial Differential Equations for Scientists and Engineers,
Dover (1993), ISBN 978-0486676203 (première édition US par John Wiley & Sons : 1952)
- Stanley J. Farlow,
Solution Manual for Partial Differential Equations for Scientists and Engineers,
Dover (1993), ISBN 978-0486842523 (première édition US par John Wiley & Sons : 1952)
- Oliver D. Kellogg,
Foundations of Potential Theory,
Dover (1929), ISBN 0486601447.
Un très vaste panorama de l'analyse numérique des EDP est brossé dans :
- Jacques Louis-Lions et Robert Dautray,
Analyse Mathématique et calcul numérique pour les Sciences et les Techniques
(9 vol.), Masson (1985).
Cette version française n'est plus éditée. On consultera la version anglo-saxonne : Mathematical analysis and numerical methods for science and technology (6 vols.), Springer (1990).
Une excellente introduction aux "fonctions de Green" se trouve dans :
- Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol,
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples,
EDP Sciences (2008), ISBN 978-2-7598-0043-8.
Quelques méthodes de résolution des EDP (extrait de : S.J. Farlow, op. cit.)
(*) La théorie des EDP s'est considérablement renouvelée depuis les années 1950, avec l'introduction de nouveaux concepts comme les espaces de Sobolev, les opérateurs pseudo-différentiels, les opérateur Fourier-intégraux, l'analyse micro-locale et j'en passe. Ces puissants outils de l'analyse moderne dépassent largement le niveau d'un enseignement de physique de licence ...
Pour un panorama synthétique récent, le lecteur motivé pourra consulter les ouvrages suivants :
- Yu. V. Egorov et M. A. Shubin,
Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations,
Springer (1998), ISBN 978-3-540-63825-4.
- Yu. V. Egorov, A. I. Komech et M. A. Shubin,
Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations,
Springer (1994), ISBN 978-33540-65377-5.
- Lars Hörmander,
The Analysis of Linear Partial Differential Operators,
(traité en 4 volumes), Springer (1983).