Analyse numérique

Cette page propose quelques méthodes numériques (hors-programme) utiles au physicien.

Équations différentielles ordinaires

Étude d’un oscillateur linéaire

Méthode d’Euler : algorithme primitif et extensions directes (pdf)
Méthode de Runge-Kutta (pdf)

Équations aux dérivées partielles

EDP elliptiques : Laplace, Poisson

EDP hyperbolique : d’Alembert

Mécanique quantique : Schrödinger

États stationnaires

Soit une particule non-relativiste soumise à un potentiel confinant unidimensionnel : la résolution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps conduit à un « problème aux valeurs propres » dont les énergies propres forment un spectre purement discret. Seuls quelques exemples simples sont solubles analytiquement (puits rectangulaire, oscillateur harmonique). Dans le cas général, une méthode populaire pour estimer numériquement les valeurs propre est la « méthode du tir » ¹ :

Willia H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, et Brian P. Flannery, Section 18.1. The Shooting Method, dans : Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press (3^e edition-2007), ISBN 978-0-521-88068-8, web

Évolution temporelle

En l’absence de mesure sur le système, l’évolution temporelle de la fonction d’onde selon l’équation de Schrödinger dépendante du temps doit conserver la probabilité. Il est recommandé d’utiliser un « algorithme unitaire » conçu pour vérifier cette propriété :

Abraham Goldberg, Harry M. Schey et Judah L. Schwartz, Computer-Generated Motion Pictures of One-Dimensional Quantum-Mechanical Transmission and Reflection Phenomena, American Journal of Physics 35 (3) (1967), 177-186, doi.org/10.1119/1.1973991

Orientation bibliographique

ODE

Jean-Philippe Grivet, Méthodes numériques appliquées – Pour le scientifique et l’ingénieur, Collection : Grenoble Sciences, EDP Sciences (2^e édition-2013), ISBN 978-2-7598-0829-8.
Franck Jedrzejewski, Introduction aux méthodes numériques, Springer (2^e édition-2005), ISBN 978-2-2872-5203-7.
Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de Grenoble (4^e édition-2016), ISBN 978-2-7598-1926-3.

Ernst Hairer, Syvert P. Nørsett et Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations (I) – Nonstiff Problems, Springer (2^e édition-1993), ISBN 978-3-540-56670-0.
Ernst Hairer et Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations (II) – Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer (2^e édition-1996), ISBN 978-3-540-60452-5.
Ernst Hairer, Christian Lubich et Gerhard Wanner, Geometric Numerical Integration – Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer (2^e édition-2006), ISBN 978-3-540-30663-4.

EDP

Jean-Philippe Grivet, Méthodes numériques appliquées – Pour le scientifique et l’ingénieur, Collection « Grenoble Sciences », EDP Sciences (2^e édition-2013), ISBN 978-2-7598-0829-8.
Franck Jedrzejewski, Introduction aux méthodes numériques, Springer (2^e édition-2005), ISBN 978-2-2872-5203-7.

Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press (2^e édition-2008), ISBN 978-0-521-73490-5.

Notes

« Shooting method ». ↩