Solides élastiques
Dans un solide élastique (comme un rail métallique de chemin de fer), le son peut se propager sous la forme d’ondes longitudinales.
La célérité du son dans le solide est supérieure à celle du son dans l'air.
Corde vibrante
Dynamique des petites vibrations transverses de la corde.
Cette vidéo montre quelques modes propres d’une « corde de Melde » filmés d’abord en temps réel, puis avec une caméra rapide. On observe successivement l’harmonique de rang 2, la fondamentale, l’harmonique de rang 3, et enfin l’harmonique de rang 6.
Une variante de l’expérience précédente – l’excitation est ici circulaire – est proposée sur cette autre vidéo de l’Université de Limoges. On observe notamment l’effet d’une variation de la tension de la corde en maintenant le fréquence d’excitation fixe. (La caméra rapide est ici remplacée par l’utilisation d’un stroboscope.)
La théorie des modes propres est abordée dans le TD corde vibrante, qui présente également la « corde de Helmholtz » ainsi qu’un phénomène d’auto-adaptation non-trivial. Dans cette approche élémentaire, l’influence de la pesanteur est négligée devant la tension de la corde. En revanche, la prise en compte de la pesanteur devient essentielle pour décrire les modes propres d’une corde verticale.
Réponse d'une corde à une percussion appliquée en x/L = 0.3 ; en l'absence de dissipation, la dynamique est périodique.
La présence d'une faible dissipation provoque la déformation et l'amortissement des vibrations.
Orientation bibliographique
- Olivier Darrigol, The acoustic origins of harmonic analysis, Archive for History of Exact Sciences 61 (2007), 343-424, doi:10.1007/s00407-007-0003-9
Membrane et plaque vibrantes
Dynamique des petites vibrations transverses d’une membrane élastique ou d’une plaque mince.
Membrane sans raideur
Réponse d'une membrane à une percussion (sans dissipation).
Plaque mince
La théorie est abordée dans le TD vibrations des plaques minces.
Vidéos :
- L’expérience de Chladni est reproduite sur cette vidéo du Palais de la Découverte. De nos jours, on peut également exciter la plaque à l’aide d’un haut-parleur, comme le montrent les deux films suivants :
- plaque rectangulaire (il est préférable de couper le son …)
- plaque circulaire
Orientation bibliographique
Modes propres de vibrations
- Serge Cantat et Luc Hillairet, Les figures « sonores » de Chladni, Images des Mathématiques, CNRS (2012), en ligne.
- Martin J. Gander et Felix Kwok, Les Figures de Chladni revisitées 225 ans après leurs découvertes, Université de Genève (2012), en ligne.
- APS Physics, July 8, 1680: The First Experiments that Inspired 18th Century « Chladni Figures », APS News 26 (7) (2017), en ligne.
- Martin J. Gander et Felix Kwok, Chladni Figures and the Tacoma Bridge: Motivating PDE Eigenvalue Problems via Vibrating Plates, SIAM Review 54 (2012), 573-596, pdf.
- Martin J. Gander et Gehrard Wanner, From Euler, Ritz and Galerkin to Modern Computing, SIAM Review 54 (2012), pdf.
- Arthur W. Leissa, Tabulated numerical results of theories of plate vibration, NASA-SP-160 (1969), pdf.
- Arthur W. Leissa, The free vibration of rectangular plates, Journal of Sound and Vibration 31 (3) (1973), 257-293, doi.org/10.1016/S0022-460X(73)80371-2
- Geoffrey B. Warburton, The Vibration of Rectangular Plates, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers 168 (1) (1954), 371-384, doi.org/10.1243/PIME_PROC_1954_168_040_02
- Geoffrey B. Warburton, Rayleigh’s contributions to modern vibration analysis, Journal of Sound and Vibration 88 (2) (1983), 163-173, doi.org/10.1016/0022-460X(83)90633-8
- Geoffrey B. Warburton, The Dynamical Behaviour of Structures, Pergamon (2e edition-1976), ISBN 978-0-08-020364-5
- Stephen Timoshenko et S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill (2e édition-1959), archive.org — Traduction française : Théorie des plaques et coques, Librairie Polytechnique Ch. Béranger (1961).
Peut-on entendre la forme d’un tambour ?
- Catherine Even et Pawel Pieranski, Entendre la forme d’un tambour, Images de la Physique, CNRS (1998), 86-93, pdf.
- Pierre Bérard, Peut-on entendre la forme d’un tambour ?, Science de tous les savoirs (2004), pdf.
Lexique La terminologie anglo-saxonne est forgée sur le mot allemand « eigen », non traduit. Par exemple :
- eigenvalue = valeur propre
- eigenvector = vecteur propre
- eigenmode = mode propre
- Remarque : « normal mode » est également utilisé à la place d’eigenmode.